بحث عن الانشاءات الهندسية

Admin عدد المساهمات : 1020 تاريخ التسجيل : 04/07/2009

الانشاءات الهندسية
3. الإنشاء بالمدور دون المسطرة

لم يكتف المهندسون بهذا النوع من الإنشاء، بل راح بعضهم يبحث عن إمكانية إنجاز هذه الإنشاءات بالمدور وحده بدون الاستعانة بالمسطرة. وفي هذا الإطار كتب الرياضي الإيطالي ماسكروني Mascheroni [1750-1800] سنة 1797 مؤلَفا عنونه "هندسة المدور" ترجم إلى عدة لغات مثل الفرنسية والألمانية. وبرهن ماسكروني على النظرية التالية:

نظرية ماسكروني
:
كل إنشاء هندسي ينجز بواسطة المدور والمسطرة يمكن إنجازها باستخدام المدور وحده.

ملاحظة :
ينبغي ألا يفهم من هذه النظرية أننا نستطيع مثلا رسم مستقيم بالمدور! فهذا من المستحيلات ... وإنما المعنى المقصود هو أننا نستطيع تعيين نقطتين من هذا المستقيم باستعمال المدور فقط، ومن ثم يحدد المستقيم المطلوب.
والواقع أنه يمكننا اختصار نص هذه النظرية في الجملة التالية:

كل نقطة تمثل تقاطع مستقيمين أو تقاطع دائرة ومستقيم يمكن الحصول عليها كتقاطع دائرتين.

لقد برهن أدلر Adler في سنة 1890 بطريقة متميّزة على النظرية السابقة، واقترح طريقة عامة لحل مسائل الإنشاء الهندسي بواسطة المدور وحده. والجدير بالإشارة أن الرياضي الدنيماركي هجلمسلف Hjelmslev عثر، سنة 1928، في مكتبة بمدينة كوبنهاغن على كتاب ألّفه جورج موهر Moher عنوانه "أقليدس الدنيماركي" صدر سنة 1672 في مدينة أمستردام. ويوجد في الجزء الأول من هذا الكتاب البرهان الكامل على نظرية ماسكروني!

تسمّى الهندسة التي تهتم بالإنشاءات المنجزة بالمدور وحده هندسة المدور. إليك عينة من المسائل الإنشائية التي تتم بالمدور وبدون استعمال المسطرة ... مع الملاحظة أن ترتيبها مهم لأن اللاحق منها يستعمل عموما السابق. نشير أننا اكتفينا بتقديم حلي المسألتين الأخيرتين 10 و 11 : إنشاء منتصف قطعة مستقيمة ومركز دائرة.

المسألة 1
اَنشئ بالمدور (فقط) النقطة نظيرة نقطة معلومة بالنسبة إلى مستقيم غير مرسوم يشمل نقطتين معلومتين.
المسألة 2
اَنشئ بالمدور (فقط) النقطة نظيرة نقطة معلومة بالنسبة إلى نقطة معلومة.
المسألة 3
اَنشئ بالمدور (فقط) نقطة C على المستقيم (AB) بحيث يكون للطول BC قيمة معلومة.
المسألة 4
اَنشئ بالمدور (فقط) نقطتين A و B بحيث AB=(x.y)/z حيث x ، y ، z ثلاثة أطوال معلومة.
المسألة 5
عيّن بالمدور (فقط) نقطة تقاطع مستقيمين معلومين (غير مرسومين) كل واحد منهما محدد بنقطتين.

ملاحظة هامة:
تبرهن هذه المسألة على أننا نستطيع الحصول على نقطة تقاطع مستقيمين كتقاطع دائرتين! ... وهو ما ذكرناه في التمهيد.

المسألة 6
اَنشئ بالمدور (فقط) نقطة تقاطع دائرة معلومة ومركزها معلوم مع مستقيم (غير مرسوم) معين بنقطتين منه.

ملاحظة هامة:
تبرهن هذه المسألة على أننا نستطيع الحصول على نقطة تقاطع مستقيم ودائرة كتقاطع دائرتين!

المسألة 7
اَنشئ كيف نحدد منتصف القوس لدائرة معلومة ومركزها معلوم ونصف قطرها معلوم؟
المسألة 8
اَنشئ عدة نقاط على مستقيم معلوم (غير مرسوم) باستعمال المدور (فقط).
المسألة 9
اَنشئ بالمدور (فقط) نقطة H بحيث يكون المستقيمان (AB) و(AH) متعامدين.

المسألة 10 الحل 10

إليك نقطتين ا ، ب .
اَنشئ بالمدور (فقط) منتصف قطعة مستقيمة [AB] غير مرسومة، علم طرفاها.

المسألة 11 الحل 11

لديك دائرة مرسومة، لكنك تجهل نصف قطرها وموقع مركزها. عيّن موقع المركز.
ملاحظات:
1. لعلك تتساءل الآن عما إذا كان بالإمكان تحديد مركز الدائرة باستخدام المسطرة دون المدور؟ لقد أجاب الرياضي الألماني ديفد هيلبرت Hilbert (1862-1943) : لا يمكن إنشاء مركز دائرة بالمسطرة دون استعمال المدور.
2. من العلوم أن هناك نوعا آخر من مسائل هندسة المدور تتمثّل في تقييد فتحة المدور ... كأن يُطلب منك إنشاء شكل هندسي بالمدور دون أن تتجاوز أنصاف أقطار الدوائر التي ترسمها فتحة معيّنة مسبقا، أو أن يُطلب منك إنجاز نفس الأشكال بدون أن تقلّ أنصاف الدوائر عن قيمة معلومة. كما يمكن التساؤل عن إمكانية إنجاز إنشاءات هندسية بالمدور وحده مع تثبيت نصف القطر (أي بتثبيت فتحة المدور)! إليك بعض النتائج في هذا الموضوع نوجزها في 3 حالات:

الحالة الأولى: فتحة المدور أصغر من قيمة معلومة
كل الإنشاءات الهندسية التي تنجز بالمسطرة والمدور يمكن إنجازها بالمدور (فقط) وبأنصاف أقطار لا تتجاوز طولا معطى مسبقا.

الحالة الثانية: فتحة المدور أكبر من قيمة معلومة
كل الإنشاءات الهندسية التي تنجز بالمسطرة والمدور يمكن إنجازها بالمدور (فقط) وبأنصاف أقطار أكبر من طول معطى مسبقا.
الحالة الثالثة: فتحة المدور ثابتة
من المستحيل إنجاز كل الإنشاءات الهندسية التي تتم بالمسطرة والمدور باستعمال المدور (فقط) وبنصف قطر ثابت معطى مسبقا.
بحث في هذا الموضوع العديد من الرياضيين منهم أبو الوفاء البوزجاني. وهناك مسألة أخرى أكثر تعقيدا مثل: هل يمكن إنجاز جميع الإنشاءات الهندسية التي تتم بالمدور والمسطرة باستعمال المدور (فقط) حيث تمر كل الدوائر المرسومة بنفس النقطة ؟ الجواب: نعم، شريطة أن نستثني دائرتين اثنتين ... فلا نفرض عليهما المرور بالنقطة ا !

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]